粗大メモ置き場

個人用,たまーに来訪者を意識する雑記メモ

「Linear=線形」 ではない

俺たちは雰囲気で数学をやっている… ”Linear” は 線形ないし一次(Affine)の意味でよく出ますがごっちゃになっちゃうので気をつけましょう。

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Linearの訳

Linearの訳ですがシチュエーションによりだいたい2パターンあります。

  • 線形:Linear transformationとか
  • 一次:Linear equationとか

線形性とは

線形性とは以下の2要素を満たす場合に言います。

  • 加法性:f(x+y)=f(x)+f(y)
  • 斉一次性 :f(cx)=cf(x)

スカラー関数では f(x)=ax ということ。

Affineとは

1次方程式という意味でのLinear equationでは f(x)=ax+b のような形を容認します。 これは線形写像に原点の平行移動を含むAffine写像になります。

ただ,Linear solutionとかLinear equationとか言う場合はAffine性よりは「一次方程式」という意味合いが強いです。

「Linear = first-order」 ということです。

具体例

いろんな語句を"線形"と"一次"に分類してみます。なんか思いついたら追記します。

Non linear → 場合による

先程の考察からf(x)=ax+bは線形ではないためnon-linear写像と言う事ができる一方で1次方程式という点でlinearな方程式ということは出来ます。 ただ,linearな写像とこれを区別するため,affine-linearといった言い回しが用いられる例があるようです。

https://www.researchgate.net/post/y3x_4_is_this_equation_linear_or_nonlinear

Linear inequality → 一次

Linear equationから来てます。線形不等式と訳すなかれこれは一次不等式と訳すべきでしょう。

Linear matrix inequality → 一次?

LMIとして有名な線形行列不等式ですが以下の形をみるに方程式自体はAffineに見えます。 追記:原辰次先生の論文[1]ではキチンと「アファインな関数」と言っていますね。 https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9146e5a3c0820b3321a9624832c9724496582f15

[1]でもこう言っています。線形とは…??? f:id:ossyaritoori:20180921095033p:plain

行列一次不等式って言ったほうが良いのでは? よくわからなくなってきました。

[1]制御におけるRiccati方程式:https://www.jstage.jst.go.jp/article/sicejl1962/35/12/35_12_971/_pdf 計測と制御 第35巻12号 p971-973(1996)