タイトルが非常に付けづらかったので埋もれないようにキーワードだけ並べました。

問題設定

２つの座標系があった時，１つの座標系から見て位置 $^1t_{1p}$ にある点Pがもう片方の座標系からはどういう値に見えるかという問題を考えることがままあります。例えばカメラの撮像系等でこのような話はよくありますね。

図で示すと以下のような感じです。

毎回こんな図を書いて確認してしまうので記事として書いて答え合わせにしようと思います。

前提：ベクトルの記法について

どの座標系からみたベクトルかを左に添え字で書いています。そこそこPopularな記法だと思います。

例えば $^2t_{1p}$ はベクトル $t_{1p}$ を座標系２の上で解釈したものということにします。

また， $^1_2 R$ ， $^1_2 t$ はそれぞれ座標系１から２への回転と並進の変位を表しています。教科書では１，２等の数字ではなく記号で書かれることが多いですね。

まず座標系１からみた「座標系２to点P」のベクトル $^1t_{2p}$ は

$^1t_{2p}=^1t_{1p}-^1_2 t$

のようになります。このベクトルを座標系２から見た時は，回転量 $^1_2 R$ の分だけ逆に回せばいいので（２次元座標で考えてみればすぐわかる）

\begin{align} ^2 t_{2p} = ^1_2 R^\top {}^1 t_{2p} \end{align}

これを先程の式と合わせると

\begin{align} ^2 t_{2p} = ^1_2 R^\top {}^1 t_{1p} - ^1_2 R^\top {}^1_2 t \end{align}

となります。

結局これを以下のような同次表現に落としたとき，

\begin{align} ^2 t_{2p} = [R | t] \begin{bmatrix} {}^1 t_{1p} \\ 1 \end{bmatrix} \end{align}

R,tと「座標系１と２の関係を表すR，t」との関係は \begin{align} R = ^1_2 R^\top \\ t = - ^1_2 R^\top {}^1_2 t \end{align} という風になるわけです。この関係式はちょうど逆もしかりになります（当たり前）。

画像系でよくこのRとtを求めることがありますがGlobal座標でのカメラの位置に変換するにはこのような手順を踏む必要があるのを忘れないように。

以下の呪文を冒頭で唱えた後に，

<p style="display: none;">[tex: ]</p>

\begin{align}で囲むなどすれば通常とほぼ同様に書くことが出来ます。ただし，^や_などの文字には\でエスケープが必要になるらしく，特にt_{1p}などの複数の文字を配置したい場合にはt\_{1p}のように書いたほうが安定するようです。

[参考サイト]

追記：最近同じことを書いているサイトを見つけました。No more 車輪の再発明。金言ですね。私はやってしまったわけですがｗ mem-archive.com